Command Cheat Sheet
Matlab
Tento přehled obsahuje klíčové příkazy pro Control System Toolbox a Symbolic Math Toolbox, zaměřené na analýzu systémů, přenosové funkce, stavový prostor a návrh regulátorů.
1. Reprezentace systémů (Modely a diskretizace)
Před prací se systémy je nutné je v MATLABu nadefinovat. Lze použít přenosové funkce, stavový prostor, nebo nuly a póly.
| Příkaz | Popis |
|---|---|
tf(num, den) |
Vytvoří spojitou přenosovou funkci z vektorů koeficientů čitatele a jmenovatele. |
zpk(z, p, k) |
Vytvoří model z nul, pólů a zesílení. |
ss(A, B, C, D) |
Vytvoří model ve stavovém prostoru ze stavových matic. |
tf(Gss) |
Převede stavový model Gss na přenosovou funkci. |
zpk(Gss) |
Převede systém na tvar rozložený na kořeny (nuly/póly). |
c2d(G, Ts, 'zoh') |
Převede spojitý systém na diskrétní s periodou vzorkování Ts (Zero-Order Hold). |
d2c(G_disc) |
Zpětný převod z diskrétního do spojitého času. |
Příklad v kódu:
% --- Stavový prostor ---
A = [1 2; 3 4]; B = [1; 0]; C = [1 1]; D = 0;
Gss = ss(A, B, C, D);
% --- Přenosová funkce ---
s = tf('s'); % Založení Laplaceovy proměnné jako objektu
G = 1 / (s^2 + 2*s + 1); % Rychlý zápis přenosu
% --- Převod na diskrétní ---
Gd = c2d(G, 0.1, 'zoh'); % Vzorkovací perioda 0.1s
2. Analýza systémů a charakteristiky
Klíčové příkazy pro zjištění vlastností systému a jeho chování (v čase i frekvenci).
| Příkaz | Popis |
|---|---|
pole(G) |
Vrátí póly systému (vlastní čísla matice A - určují stabilitu). |
zero(G) |
Vrátí nuly systému. |
dcgain(G) |
Zesílení v ustáleném stavu (DC gain). Hodí se pro výpočet trvalé regulační odchylky. |
pzmap(G) |
Vykreslí mapu nul a pólů do komplexní roviny. |
step(G) |
Vykreslí přechodovou charakteristiku (odezva na jednotkový skok). |
stepinfo(G) |
Vypíše detaily odezvy: překmit (Overshoot), dobu náběhu (RiseTime) a ustálení (SettlingTime). |
impulse(G) |
Vykreslí impulzní charakteristiku (Dirackův impuls). |
lsim(G, u, t) |
Odezva na libovolný vstupní signál u v čase t. |
bode(G) |
Vykreslí Bodeho frekvenční charakteristiku (amplituda a fáze). |
nyquist(G) |
Vykreslí Nyquistovu křivku. |
margin(G) |
Vykreslí Bodeho graf a ukáže zásobu stability (Amplitudová a fázová bezpečnost). |
rlocus(G) |
Geometrické místo kořenů (Root Locus) pro návrh regulátoru podle zesílení. |
3. Algebra blokových schémat (Propojování)
Funkce pro redukci složitých schémat na jeden výsledný přenos.
G1 = tf(1, [1 1]);
G2 = tf(2, [1 3]);
G_ser = series(G1, G2); % Sériové zapojení (G1 * G2)
G_par = parallel(G1, G2); % Paralelní zapojení (G1 + G2)
G_fb = feedback(G1, G2); % Zpětnovazební smyčka (G1 v přímé, G2 ve zpětné větvi)
G_fb_jednotkova = feedback(G1, 1); % Jednotková záporná zpětná vazba (častý případ)
4. Stavový prostor – Vlastnosti a Řízení (Pole Placement & LQR)
Testy matic stavového prostoru a metody pro výpočet matice zpětné vazby $K$ (kde řízení $u = -Kx$).
| Příkaz | Popis |
|---|---|
Co = ctrb(A, B) |
Matice řiditelnosti (Controllability matrix). |
Ob = obsv(A, C) |
Matice pozorovatelnosti (Observability matrix). |
rank(Co) |
Určí hodnost matice. Pokud rank(Co) == délka(A), systém je plně řiditelný. |
eig(A) |
Vlastní čísla matice A (odpovídá pólům systému). |
K = acker(A, B, p) |
Metoda umístění pólů (pro SISO systémy). Vypočte matici $K$ tak, aby uzavřený systém měl póly p. |
K = place(A, B, p) |
Robustnější metoda umístění pólů (i pro MIMO systémy). |
K = lqr(A, B, Q, R) |
Lineární kvadratický regulátor. Najde optimální $K$ na základě penalizačních matic Q (stavy) a R (akční zásah). |
5. Stavové řízení – Pozorovatel (Luenbergerův observer) a Separační princip
Pokud nejsou všechny stavy měřitelné, je nutné je rekonstruovat pomocí pozorovatele stavu. Výsledný regulátor pak pracuje s odhadnutými stavy $\hat{x}$ místo skutečných $x$.
Schéma stavového řízení s pozorovatelem
r ──► [ předfiltr Nr ] ──►+──► [ u = -K*x̂ ] ──► [ Soustava ] ──► y
▲ │
└────[ Pozorovatel ]◄────────┘
(A-LC, B, L)
Řídící zákon: u = -K*x̂ + Nr*r
Pozorovatel: dx̂/dt = A*x̂ + B*u + L*(y - C*x̂)
Výpočet zisku pozorovatele L
Póly pozorovatele se volí typicky 2–5× rychlejší (dále vlevo v s-rovině) než póly regulátoru — pozorovatel musí konvergovat dřív, než regulátor začne řídit.
% Umístění pólů regulátoru (uzavřená smyčka)
p_reg = [-2+2i, -2-2i, -5];
K = place(A, B, p_reg);
% Póly pozorovatele – zhruba 3x rychlejší
p_obs = 3 * p_reg; % posunutí dále vlevo
L = place(A', C', p_obs)'; % Dualita: place na transponovaném systému
% Simulace uzavřené smyčky se stavovým regulátorem + pozorovatelem
% Sestavení rozšířeného systému [x; x̂]:
A_cl = [A - B*K, B*K;
zeros(size(A)), A - L*C];
% (kompletní simulaci lze provést přes lsim)
Předfiltr Nr pro nulovou ustálenou odchylku
Bez předfiltru má systém s $u = -Kx$ obecně nenulovou ustálenou odchylku na referenci $r$.
% Výpočet předfiltru:
% Nr = -1 / (C * inv(A - B*K) * B)
Nr = -1 / (C * inv(A - B*K) * B);
% Nebo ekvivalentně přes dcgain uzavřené smyčky:
A_cl = A - B*K;
Nr = 1 / dcgain(ss(A_cl, B, C, 0));
Integrační složka ve stavovém prostoru (sledování bez odchylky)
Pro robustní sledování reference (eliminace trvalé odchylky i při poruchách) se přidá integrační stav $x_i = \int e , dt$:
% Rozšíření soustavy o integrátor chyby
A_aug = [A, zeros(n,1); -C, 0];
B_aug = [B; 0];
% Návrh regulátoru pro rozšířený systém
p_aug = [-2+2i, -2-2i, -5, -1]; % přidán pól pro integrátor
K_aug = place(A_aug, B_aug, p_aug);
% K_aug = [K_x, K_i] -- stavová zpětná vazba + integrační zisk
6. Návrh regulátorů – Kam umisťovat nuly a póly?
Volba polohy pólů a nul regulátoru zásadně ovlivňuje kvalitu odezvy. Níže jsou klíčová pravidla pro nejběžnější typy regulátorů.
Obecná pravidla pro póly uzavřené smyčky
Dynamiku uzavřené smyčky popisuje přirozená frekvence $\omega_n$ a tlumení $\zeta$ dominantního páru pólů:
Nedominantní póly se umísťují 3–5× dál vlevo než dominantní pár – jejich vliv na odezvu je pak zanedbatelný.
P regulátor
Pouze zesílení – posune póly podél větví kořenového diagramu (rlocus). Nuly ani póly regulátor nepřidává.
% Volba zesílení K z rlocus:
rlocus(G);
% Kliknutím na křivku (nebo rlocfind) zjistíme K pro požadované póly:
[K, poles] = rlocfind(G);
PD regulátor – nula kompenzuje pomalý pól soustavy
PD regulátor přidává jednu nulu: $C_{PD}(s) = K_p(1 + T_d s) = K_p \frac{s + 1/T_d}{1}$
Zlaté pravidlo: Nulu PD regulátoru umísti na dominantní reálný pól soustavy (nebo poblíž něj). Tím tento pól „zruší" a soustava se chová rychleji bez výraznějšího překmitu.
% Příklad: soustava má pomalý pól v s = -1
G = tf(1, conv([1 1],[1 3])); % póly v -1 a -3
% Nula PD regulátoru přesně na pól -1 => vykompenzuje ho
Td = 1; % 1/Td = 1 => nula v s = -1
C_PD = tf([Td 1], 1); % C_PD = (s+1)
% Uzavřená smyčka – soustava se chová jako soustava 1. řádu s pólem -3
T = feedback(C_PD * G, 1);
step(T);
⚠️ Přesné zrušení pólu nulou funguje jen v teorii. V praxi zůstane zrušený pól jako „skrytý mód" – systém je stabilní, ale může být citlivý na poruchy nebo nepřesnosti modelu.
PI regulátor – nula blízko počátku, integrační pól v 0
PI regulátor přidává pól v počátku (integrátor) a jednu nulu: $C_{PI}(s) = K_p \frac{s + 1/T_i}{s}$
Zlaté pravidlo: Nulu PI regulátoru umísti blízko počátku (vlevo od nejpomalejšího pólu soustavy, ale blízko něj), aby integrátor výrazně nezpomalil odezvu.
% Příklad: soustava s nejpomalejším pólem v s = -0.5
Ti = 2; % nula PI v s = -1/Ti = -0.5
C_PI = tf([Ti 1], [Ti 0]); % C_PI = (s + 0.5)/s
T = feedback(C_PI * G, 1);
step(T);
PID regulátor – dvě nuly pro dobrou odezvu
PID regulátor má pól v počátku a dvě nuly: $C_{PID}(s) = K \frac{(s+z_1)(s+z_2)}{s}$
Zlaté pravidlo: Obě nuly umísti poblíž dominantního páru komplexních pólů soustavy (nebo jako komplexní pár blízko žádaných pólů uzavřené smyčky). Tím regulátor „přitáhne" větve kořenového diagramu do požadované oblasti.
% Příklad: dominantní póly soustavy v s = -1 ± 2i
% => Nuly PID umístíme poblíž: např. jako reálný pár -1 ± epsilon
z1 = 1.5; z2 = 0.8;
C_PID = tf(conv([1 z1],[1 z2]), [1 0]); % (s+1.5)(s+0.8)/s
% Nebo přímo přes pid():
Kp = 2; Ki = 1; Kd = 0.5;
C = pid(Kp, Ki, Kd);
T = feedback(C * G, 1);
stepinfo(T)
Přehled – kam umísťovat nuly a póly regulátoru
Rychlý postup návrhu pomocí Root Locus
G = tf(1, [1 3 2]); % soustava
C = tf([1 1.5], [1 0]); % regulátor s nulou v -1.5 a pólem v 0 (PI)
rlocus(C * G); % zobrazí kořenový diagram kompenzované soustavy
% => posouváme nuly/póly C dokud větve neprochází požadovanou oblastí
sgrid(0.7, []) % přidá iso-křivky tlumení (zeta = 0.7)
7. Návrh PID regulátorů
Příkazy pro rychlou definici a automatické ladění PID regulátorů.
% Definice vlastního PID regulátoru
Kp = 1; Ki = 0.5; Kd = 0.1;
C_pid = pid(Kp, Ki, Kd);
% Automatické ladění na základě přenosu soustavy G
C_tuned = pidtune(G, 'PID'); % Navrhne optimální PID
C_pi = pidtune(G, 'PI'); % Navrhne pouze PI regulátor
% Připojení regulátoru k soustavě (zpětná vazba)
T_uzavrena_smycka = feedback(C_tuned * G, 1);
step(T_uzavrena_smycka); % Otestování výsledné odezvy
6.8. Symbolic Math Toolbox a Linearizace
Skvělé pro analytické řešení diferenciálních rovnic, výpočty přechodových matic a linearizaci nelineárních modelů.
Analytické řešení a stavová přechodová matice:
syms s t % Založení symbolických proměnných
A = [1 2; 0 3];
x0 = [1; 0]; % Počáteční podmínky
% Matice přechodu pomocí exponenciály:
Phi_t = expm(A*t); % !!! expm() je maticová exponenciála, NEPLÉST s exp() !!!
pretty(Phi_t); % Graficky hezčí výpis v příkazové řádce
% Řešení přes Laplaceovu transformaci:
I = eye(2); % Jednotková matice 2x2
X_s = inv(s * I - A) * x0; % (sI - A)^-1 * x0
x_t = ilaplace(X_s); % Inverzní Laplace - návrat do časové oblasti
Linearizace pomocí Jacobiho matice:
syms x1 x2 u
% Nelineární diferenciální rovnice: dx/dt = f(x,u)
f1 = -x1^2 + x2 + u;
f2 = x1 - x2*u;
% Linearizace (nalezení matic A, B)
A_sym = jacobian([f1; f2], [x1, x2]); % Derivace podle stavů (A)
B_sym = jacobian([f1; f2], u); % Derivace podle vstupů (B)
% Pro zjištění číselné matice dosaď pracovní bod (např. x1=0, x2=0, u=1):
A_prac_bod = subs(A_sym, [x1, x2, u], [0, 0, 1]);
B_prac_bod = subs(B_sym, [x1, x2, u], [0, 0, 1]);