# Basics # Command Cheat Sheet # Matlab Tento přehled obsahuje klíčové příkazy pro Control System Toolbox a Symbolic Math Toolbox, zaměřené na analýzu systémů, přenosové funkce, stavový prostor a návrh regulátorů. --- ## 1. Reprezentace systémů (Modely a diskretizace) Před prací se systémy je nutné je v MATLABu nadefinovat. Lze použít přenosové funkce, stavový prostor, nebo nuly a póly. | Příkaz | Popis | | :--- | :--- | | `tf(num, den)` | Vytvoří spojitou přenosovou funkci z vektorů koeficientů čitatele a jmenovatele. | | `zpk(z, p, k)` | Vytvoří model z nul, pólů a zesílení. | | `ss(A, B, C, D)` | Vytvoří model ve stavovém prostoru ze stavových matic. | | `tf(Gss)` | Převede stavový model `Gss` na přenosovou funkci. | | `zpk(Gss)` | Převede systém na tvar rozložený na kořeny (nuly/póly). | | `c2d(G, Ts, 'zoh')` | Převede spojitý systém na diskrétní s periodou vzorkování `Ts` (Zero-Order Hold). | | `d2c(G_disc)` | Zpětný převod z diskrétního do spojitého času. | **Příklad v kódu:** ```matlab % --- Stavový prostor --- A = [1 2; 3 4]; B = [1; 0]; C = [1 1]; D = 0; Gss = ss(A, B, C, D); % --- Přenosová funkce --- s = tf('s'); % Založení Laplaceovy proměnné jako objektu G = 1 / (s^2 + 2*s + 1); % Rychlý zápis přenosu % --- Převod na diskrétní --- Gd = c2d(G, 0.1, 'zoh'); % Vzorkovací perioda 0.1s ``` --- ## 2. Analýza systémů a charakteristiky Klíčové příkazy pro zjištění vlastností systému a jeho chování (v čase i frekvenci). | Příkaz | Popis | | :--- | :--- | | `pole(G)` | Vrátí póly systému (vlastní čísla matice A - určují stabilitu). | | `zero(G)` | Vrátí nuly systému. | | `dcgain(G)` | Zesílení v ustáleném stavu (DC gain). Hodí se pro výpočet trvalé regulační odchylky. | | `pzmap(G)` | Vykreslí mapu nul a pólů do komplexní roviny. | | `step(G)` | Vykreslí přechodovou charakteristiku (odezva na jednotkový skok). | | `stepinfo(G)` | Vypíše detaily odezvy: překmit (Overshoot), dobu náběhu (RiseTime) a ustálení (SettlingTime). | | `impulse(G)` | Vykreslí impulzní charakteristiku (Dirackův impuls). | | `lsim(G, u, t)` | Odezva na libovolný vstupní signál `u` v čase `t`. | | `bode(G)` | Vykreslí Bodeho frekvenční charakteristiku (amplituda a fáze). | | `nyquist(G)` | Vykreslí Nyquistovu křivku. | | `margin(G)` | Vykreslí Bodeho graf a ukáže zásobu stability (Amplitudová a fázová bezpečnost). | | `rlocus(G)` | Geometrické místo kořenů (Root Locus) pro návrh regulátoru podle zesílení. | --- ## 3. Algebra blokových schémat (Propojování) Funkce pro redukci složitých schémat na jeden výsledný přenos. ```matlab G1 = tf(1, [1 1]); G2 = tf(2, [1 3]); G_ser = series(G1, G2); % Sériové zapojení (G1 * G2) G_par = parallel(G1, G2); % Paralelní zapojení (G1 + G2) G_fb = feedback(G1, G2); % Zpětnovazební smyčka (G1 v přímé, G2 ve zpětné větvi) G_fb_jednotkova = feedback(G1, 1); % Jednotková záporná zpětná vazba (častý případ) ``` --- ## 4. Stavový prostor – Vlastnosti a Řízení (Pole Placement & LQR) Testy matic stavového prostoru a metody pro výpočet matice zpětné vazby $K$ (kde řízení $u = -Kx$). | Příkaz | Popis | | :--- | :--- | | `Co = ctrb(A, B)` | Matice řiditelnosti (Controllability matrix). | | `Ob = obsv(A, C)` | Matice pozorovatelnosti (Observability matrix). | | `rank(Co)` | Určí hodnost matice. Pokud `rank(Co) == délka(A)`, systém je plně řiditelný. | | `eig(A)` | Vlastní čísla matice A (odpovídá pólům systému). | | `K = acker(A, B, p)`| Metoda umístění pólů (pro SISO systémy). Vypočte matici $K$ tak, aby uzavřený systém měl póly `p`. | | `K = place(A, B, p)`| Robustnější metoda umístění pólů (i pro MIMO systémy). | | `K = lqr(A, B, Q, R)`| Lineární kvadratický regulátor. Najde optimální $K$ na základě penalizačních matic `Q` (stavy) a `R` (akční zásah). | --- ## 5. Stavové řízení – Pozorovatel (Luenbergerův observer) a Separační princip Pokud nejsou všechny stavy měřitelné, je nutné je rekonstruovat pomocí pozorovatele stavu. Výsledný regulátor pak pracuje s odhadnutými stavy $\hat{x}$ místo skutečných $x$. ### Schéma stavového řízení s pozorovatelem ``` r ──► [ předfiltr Nr ] ──►+──► [ u = -K*x̂ ] ──► [ Soustava ] ──► y ▲ │ └────[ Pozorovatel ]◄────────┘ (A-LC, B, L) ``` Řídící zákon: `u = -K*x̂ + Nr*r` Pozorovatel: `dx̂/dt = A*x̂ + B*u + L*(y - C*x̂)` ### Výpočet zisku pozorovatele L Póly pozorovatele se volí typicky **2–5× rychlejší** (dále vlevo v s-rovině) než póly regulátoru — pozorovatel musí konvergovat dřív, než regulátor začne řídit. ```matlab % Umístění pólů regulátoru (uzavřená smyčka) p_reg = [-2+2i, -2-2i, -5]; K = place(A, B, p_reg); % Póly pozorovatele – zhruba 3x rychlejší p_obs = 3 * p_reg; % posunutí dále vlevo L = place(A', C', p_obs)'; % Dualita: place na transponovaném systému % Simulace uzavřené smyčky se stavovým regulátorem + pozorovatelem % Sestavení rozšířeného systému [x; x̂]: A_cl = [A - B*K, B*K; zeros(size(A)), A - L*C]; % (kompletní simulaci lze provést přes lsim) ``` ### Předfiltr Nr pro nulovou ustálenou odchylku Bez předfiltru má systém s $u = -Kx$ obecně nenulovou ustálenou odchylku na referenci $r$. ```matlab % Výpočet předfiltru: % Nr = -1 / (C * inv(A - B*K) * B) Nr = -1 / (C * inv(A - B*K) * B); % Nebo ekvivalentně přes dcgain uzavřené smyčky: A_cl = A - B*K; Nr = 1 / dcgain(ss(A_cl, B, C, 0)); ``` ### Integrační složka ve stavovém prostoru (sledování bez odchylky) Pro robustní sledování reference (eliminace trvalé odchylky i při poruchách) se přidá integrační stav $x_i = \int e \, dt$: ```matlab % Rozšíření soustavy o integrátor chyby A_aug = [A, zeros(n,1); -C, 0]; B_aug = [B; 0]; % Návrh regulátoru pro rozšířený systém p_aug = [-2+2i, -2-2i, -5, -1]; % přidán pól pro integrátor K_aug = place(A_aug, B_aug, p_aug); % K_aug = [K_x, K_i] -- stavová zpětná vazba + integrační zisk ``` --- ## 6. Návrh regulátorů – Kam umisťovat nuly a póly? Volba polohy pólů a nul regulátoru zásadně ovlivňuje kvalitu odezvy. Níže jsou klíčová pravidla pro nejběžnější typy regulátorů. ### Obecná pravidla pro póly uzavřené smyčky Dynamiku uzavřené smyčky popisuje přirozená frekvence $\omega_n$ a tlumení $\zeta$ dominantního páru pólů: | Požadavek | Kde umístit dominantní póly | | :--- | :--- | | Rychlá odezva, malý překmit | $\zeta \approx 0.7$, $\omega_n$ co největší (daleko vlevo) | | Minimální překmit | $\zeta \geq 1$ (reálné póly, kritické/přetlumení) | | Žádná trvalá odchylka | Přidat integrátor (pól v 0) do regulátoru | | Stabilita rezerva | Všechny póly s $\text{Re}(s) < 0$, co nejdál od imaginární osy | Nedominantní póly se umísťují **3–5× dál vlevo** než dominantní pár – jejich vliv na odezvu je pak zanedbatelný. ### P regulátor Pouze zesílení – posune póly podél větví kořenového diagramu (rlocus). Nuly ani póly regulátor nepřidává. ```matlab % Volba zesílení K z rlocus: rlocus(G); % Kliknutím na křivku (nebo rlocfind) zjistíme K pro požadované póly: [K, poles] = rlocfind(G); ``` ### PD regulátor – nula kompenzuje pomalý pól soustavy PD regulátor přidává **jednu nulu**: $C_{PD}(s) = K_p(1 + T_d s) = K_p \frac{s + 1/T_d}{1}$ **Zlaté pravidlo:** Nulu PD regulátoru umísti **na dominantní reálný pól soustavy** (nebo poblíž něj). Tím tento pól „zruší" a soustava se chová rychleji bez výraznějšího překmitu. ```matlab % Příklad: soustava má pomalý pól v s = -1 G = tf(1, conv([1 1],[1 3])); % póly v -1 a -3 % Nula PD regulátoru přesně na pól -1 => vykompenzuje ho Td = 1; % 1/Td = 1 => nula v s = -1 C_PD = tf([Td 1], 1); % C_PD = (s+1) % Uzavřená smyčka – soustava se chová jako soustava 1. řádu s pólem -3 T = feedback(C_PD * G, 1); step(T); ``` > ⚠️ Přesné zrušení pólu nulou funguje jen v teorii. V praxi zůstane zrušený pól jako „skrytý mód" – systém je stabilní, ale může být citlivý na poruchy nebo nepřesnosti modelu. ### PI regulátor – nula blízko počátku, integrační pól v 0 PI regulátor přidává **pól v počátku** (integrátor) a **jednu nulu**: $C_{PI}(s) = K_p \frac{s + 1/T_i}{s}$ **Zlaté pravidlo:** Nulu PI regulátoru umísti **blízko počátku** (vlevo od nejpomalejšího pólu soustavy, ale blízko něj), aby integrátor výrazně nezpomalil odezvu. ```matlab % Příklad: soustava s nejpomalejším pólem v s = -0.5 Ti = 2; % nula PI v s = -1/Ti = -0.5 C_PI = tf([Ti 1], [Ti 0]); % C_PI = (s + 0.5)/s T = feedback(C_PI * G, 1); step(T); ``` ### PID regulátor – dvě nuly pro dobrou odezvu PID regulátor má **pól v počátku** a **dvě nuly**: $C_{PID}(s) = K \frac{(s+z_1)(s+z_2)}{s}$ **Zlaté pravidlo:** Obě nuly umísti poblíž dominantního páru komplexních pólů soustavy (nebo jako komplexní pár blízko žádaných pólů uzavřené smyčky). Tím regulátor „přitáhne" větve kořenového diagramu do požadované oblasti. ```matlab % Příklad: dominantní póly soustavy v s = -1 ± 2i % => Nuly PID umístíme poblíž: např. jako reálný pár -1 ± epsilon z1 = 1.5; z2 = 0.8; C_PID = tf(conv([1 z1],[1 z2]), [1 0]); % (s+1.5)(s+0.8)/s % Nebo přímo přes pid(): Kp = 2; Ki = 1; Kd = 0.5; C = pid(Kp, Ki, Kd); T = feedback(C * G, 1); stepinfo(T) ``` ### Přehled – kam umísťovat nuly a póly regulátoru | Regulátor | Přidané póly | Přidané nuly | Doporučení pro umístění nul | | :--- | :--- | :--- | :--- | | P | — | — | (žádné nuly) | | PD | — | 1 nula | Na dominantní reálný pól soustavy (kompenzace) | | PI | pól v 0 | 1 nula | Vlevo od nejpomalejšího pólu soustavy, blízko počátku | | PID | pól v 0 | 2 nuly | Jako komplexní pár blízko žádaných dominantních pólů | | Stavový reg. (place/lqr) | — | — | Přímá volba pólů uzavřené smyčky; nedominantní 3–5× rychlejší | ### Rychlý postup návrhu pomocí Root Locus ```matlab G = tf(1, [1 3 2]); % soustava C = tf([1 1.5], [1 0]); % regulátor s nulou v -1.5 a pólem v 0 (PI) rlocus(C * G); % zobrazí kořenový diagram kompenzované soustavy % => posouváme nuly/póly C dokud větve neprochází požadovanou oblastí sgrid(0.7, []) % přidá iso-křivky tlumení (zeta = 0.7) ``` --- ## 7. Návrh PID regulátorů Příkazy pro rychlou definici a automatické ladění PID regulátorů. ```matlab % Definice vlastního PID regulátoru Kp = 1; Ki = 0.5; Kd = 0.1; C_pid = pid(Kp, Ki, Kd); % Automatické ladění na základě přenosu soustavy G C_tuned = pidtune(G, 'PID'); % Navrhne optimální PID C_pi = pidtune(G, 'PI'); % Navrhne pouze PI regulátor % Připojení regulátoru k soustavě (zpětná vazba) T_uzavrena_smycka = feedback(C_tuned * G, 1); step(T_uzavrena_smycka); % Otestování výsledné odezvy ``` --- ## 8. Symbolic Math Toolbox a Linearizace Skvělé pro analytické řešení diferenciálních rovnic, výpočty přechodových matic a linearizaci nelineárních modelů. **Analytické řešení a stavová přechodová matice:** ```matlab syms s t % Založení symbolických proměnných A = [1 2; 0 3]; x0 = [1; 0]; % Počáteční podmínky % Matice přechodu pomocí exponenciály: Phi_t = expm(A*t); % !!! expm() je maticová exponenciála, NEPLÉST s exp() !!! pretty(Phi_t); % Graficky hezčí výpis v příkazové řádce % Řešení přes Laplaceovu transformaci: I = eye(2); % Jednotková matice 2x2 X_s = inv(s * I - A) * x0; % (sI - A)^-1 * x0 x_t = ilaplace(X_s); % Inverzní Laplace - návrat do časové oblasti ``` **Linearizace pomocí Jacobiho matice:** ```matlab syms x1 x2 u % Nelineární diferenciální rovnice: dx/dt = f(x,u) f1 = -x1^2 + x2 + u; f2 = x1 - x2*u; % Linearizace (nalezení matic A, B) A_sym = jacobian([f1; f2], [x1, x2]); % Derivace podle stavů (A) B_sym = jacobian([f1; f2], u); % Derivace podle vstupů (B) % Pro zjištění číselné matice dosaď pracovní bod (např. x1=0, x2=0, u=1): A_prac_bod = subs(A_sym, [x1, x2, u], [0, 0, 1]); B_prac_bod = subs(B_sym, [x1, x2, u], [0, 0, 1]); ```